傾きと1点から直線の式

直線の式

直線の式は \(y=\bigcirc\,x+\square\)（\(\bigcirc\) が傾き，\(\square\) が切片）。
傾き \(\bigcirc\) と切片 \(\square\) の2つがわかれば，式が決まる。
傾きがわかっているときは，残りの切片 \(\square\) だけを求めればよい。

傾きと通る1点から求める

① 傾きを \(\bigcirc\) に入れる。切片は \(\square\) のまま残す。
② 通る点の \(x\) 座標，\(y\) 座標を代入して，\(\square\) についての方程式をつくる。
③ 方程式を解いて \(\square\) を求める。

例　傾き \(2\)，点 \((1,\ 5)\) を通る

\(y=2x+\square\) に \(x=1\)，\(y=5\) を代入して

\(5\)\(=\)\(2\times 1+\square\) \(5\)\(=\)\(2+\square\)

（両辺から \(2\) をひいて）

\(5-2\)\(=\)\(\square\) \(3\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=2x+3\)

切片 \((0,\ 3)\) から右へ \(1\)，上へ \(2\) で点 \((1,\ 5)\)

代入の計算は暗算しないで書く

\(5=2\times 1+\square\) のように，代入したかけ算も省かずに書く。暗算できても書く。
何をしているかがぱっと見で分かり，あとで点検しやすい。
暗算すると，どの数をどこに代入したかという情報がつぶれてしまう。
決まりではないが，計算ミスを防ぐ工夫として徹底する。
\(\times\) は \(\cdot\) と書いてもよい。

\(\times\) で書く

\(5\)\(=\)\(2\times 1+\square\) \(-4\)\(=\)\(-\dfrac{3}{2}\times 2+\square\)

\(\cdot\) で書く

\(5\)\(=\)\(2\cdot 1+\square\) \(-4\)\(=\)\(-\dfrac{3}{2}\cdot 2+\square\)

傾きの見つけ方

変化の割合は傾きと等しい。
平行な2直線は傾きが等しい。
\(x\) が増えた量に対して \(y\) が増えた量の割合が傾き。

条件	傾き	式の形
変化の割合が \(3\)	\(3\)	\(y=3x+\square\)
直線 \(y=2x+5\) に平行	\(2\)	\(y=2x+\square\)
\(x\) が \(3\) 増えると \(y\) が \(2\) 増える	\(\dfrac{2}{3}\)	\(y=\dfrac{2}{3}x+\square\)
\(x\) が \(3\) 増えると \(y\) が \(2\) 減る	\(-\dfrac{2}{3}\)	\(y=-\dfrac{2}{3}x+\square\)

大問1

次の直線の式を求めなさい。

(1)

傾きが \(2\) で，点 \((1,\ 5)\) を通る直線

(2)

傾きが \(3\) で，点 \((2,\ 4)\) を通る直線

(3)

傾きが \(-1\) で，点 \((3,\ 1)\) を通る直線

(4)

傾きが \(4\) で，点 \((1,\ 1)\) を通る直線

(5)

傾きが \(-2\) で，点 \((2,\ -1)\) を通る直線

(6)

傾きが \(1\) で，点 \((-2,\ 3)\) を通る直線

(7)

傾きが \(-3\) で，点 \((-1,\ 5)\) を通る直線

(8)

傾きが \(2\) で，点 \((-3,\ -4)\) を通る直線

(9)

傾きが \(5\) で，点 \((0,\ -2)\) を通る直線

(10)

傾きが \(-4\) で，点 \((-2,\ 6)\) を通る直線

解答

（　）の操作は書かなくてよいが，常に意識すること。

(1)

求める式を \(y=2x+\square\) とする。

点 \((1,\ 5)\) を通るから，\(x=1\)，\(y=5\) を代入して

\(5\)\(=\)\(2\times 1+\square\) \(5\)\(=\)\(2+\square\)

（両辺から \(2\) をひいて）

\(5-2\)\(=\)\(\square\) \(3\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=2x+3\)

(2)

求める式を \(y=3x+\square\) とする。

点 \((2,\ 4)\) を通るから，\(x=2\)，\(y=4\) を代入して

\(4\)\(=\)\(3\times 2+\square\) \(4\)\(=\)\(6+\square\)

（両辺から \(6\) をひいて）

\(4-6\)\(=\)\(\square\) \(-2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=3x-2\)

(3)

求める式を \(y=-x+\square\) とする。

点 \((3,\ 1)\) を通るから，\(x=3\)，\(y=1\) を代入して

\(1\)\(=\)\(-1\times 3+\square\) \(1\)\(=\)\(-3+\square\)

（両辺に \(3\) をたして）

\(1+3\)\(=\)\(\square\) \(4\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-x+4\)

(4)

求める式を \(y=4x+\square\) とする。

点 \((1,\ 1)\) を通るから，\(x=1\)，\(y=1\) を代入して

\(1\)\(=\)\(4\times 1+\square\) \(1\)\(=\)\(4+\square\)

（両辺から \(4\) をひいて）

\(1-4\)\(=\)\(\square\) \(-3\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=4x-3\)

(5)

求める式を \(y=-2x+\square\) とする。

点 \((2,\ -1)\) を通るから，\(x=2\)，\(y=-1\) を代入して

\(-1\)\(=\)\(-2\times 2+\square\) \(-1\)\(=\)\(-4+\square\)

（両辺に \(4\) をたして）

\(-1+4\)\(=\)\(\square\) \(3\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-2x+3\)

(6)

求める式を \(y=x+\square\) とする。

点 \((-2,\ 3)\) を通るから，\(x=-2\)，\(y=3\) を代入して

\(3\)\(=\)\(1\times \left(-2\right)+\square\) \(3\)\(=\)\(-2+\square\)

（両辺に \(2\) をたして）

\(3+2\)\(=\)\(\square\) \(5\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=x+5\)

(7)

求める式を \(y=-3x+\square\) とする。

点 \((-1,\ 5)\) を通るから，\(x=-1\)，\(y=5\) を代入して

\(5\)\(=\)\(-3\times \left(-1\right)+\square\) \(5\)\(=\)\(3+\square\)

（両辺から \(3\) をひいて）

\(5-3\)\(=\)\(\square\) \(2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-3x+2\)

(8)

求める式を \(y=2x+\square\) とする。

点 \((-3,\ -4)\) を通るから，\(x=-3\)，\(y=-4\) を代入して

\(-4\)\(=\)\(2\times \left(-3\right)+\square\) \(-4\)\(=\)\(-6+\square\)

（両辺に \(6\) をたして）

\(-4+6\)\(=\)\(\square\) \(2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=2x+2\)

(9)

求める式を \(y=5x+\square\) とする。

点 \((0,\ -2)\) を通るから，\(x=0\)，\(y=-2\) を代入して

\(-2\)\(=\)\(5\times 0+\square\) \(-2\)\(=\)\(0+\square\) \(-2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=5x-2\)

(10)

求める式を \(y=-4x+\square\) とする。

点 \((-2,\ 6)\) を通るから，\(x=-2\)，\(y=6\) を代入して

\(6\)\(=\)\(-4\times \left(-2\right)+\square\) \(6\)\(=\)\(8+\square\)

（両辺から \(8\) をひいて）

\(6-8\)\(=\)\(\square\) \(-2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-4x-2\)

大問2

次の直線の式を求めなさい。

(1)

傾きが \(\dfrac{1}{2}\) で，点 \((2,\ 4)\) を通る直線

(2)

傾きが \(\dfrac{1}{3}\) で，点 \((3,\ -1)\) を通る直線

(3)

傾きが \(\dfrac{2}{3}\) で，点 \((6,\ 3)\) を通る直線

(4)

傾きが \(-\dfrac{1}{2}\) で，点 \((4,\ 1)\) を通る直線

(5)

傾きが \(-\dfrac{3}{4}\) で，点 \((4,\ -5)\) を通る直線

(6)

傾きが \(\dfrac{3}{2}\) で，点 \((-2,\ -4)\) を通る直線

(7)

傾きが \(-\dfrac{2}{5}\) で，点 \((5,\ 0)\) を通る直線

(8)

傾きが \(\dfrac{1}{2}\) で，点 \((3,\ 2)\) を通る直線

(9)

傾きが \(-\dfrac{1}{3}\) で，点 \((2,\ 1)\) を通る直線

(10)

傾きが \(\dfrac{3}{4}\) で，点 \((-2,\ 1)\) を通る直線

解答

（　）の操作は書かなくてよいが，常に意識すること。

(1)

求める式を \(y=\dfrac{1}{2}x+\square\) とする。

点 \((2,\ 4)\) を通るから，\(x=2\)，\(y=4\) を代入して

\(4\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}\times 2+\square\) \(4\)\(=\)\(1+\square\)

（両辺から \(1\) をひいて）

\(4-1\)\(=\)\(\square\) \(3\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=\dfrac{1}{2}x+3\)

(2)

求める式を \(y=\dfrac{1}{3}x+\square\) とする。

点 \((3,\ -1)\) を通るから，\(x=3\)，\(y=-1\) を代入して

\(-1\)\(=\)\(\dfrac{1}{3}\times 3+\square\) \(-1\)\(=\)\(1+\square\)

（両辺から \(1\) をひいて）

\(-1-1\)\(=\)\(\square\) \(-2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=\dfrac{1}{3}x-2\)

(3)

求める式を \(y=\dfrac{2}{3}x+\square\) とする。

点 \((6,\ 3)\) を通るから，\(x=6\)，\(y=3\) を代入して

\(3\)\(=\)\(\dfrac{2}{3}\times 6+\square\) \(3\)\(=\)\(4+\square\)

（両辺から \(4\) をひいて）

\(3-4\)\(=\)\(\square\) \(-1\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=\dfrac{2}{3}x-1\)

(4)

求める式を \(y=-\dfrac{1}{2}x+\square\) とする。

点 \((4,\ 1)\) を通るから，\(x=4\)，\(y=1\) を代入して

\(1\)\(=\)\(-\dfrac{1}{2}\times 4+\square\) \(1\)\(=\)\(-2+\square\)

（両辺に \(2\) をたして）

\(1+2\)\(=\)\(\square\) \(3\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-\dfrac{1}{2}x+3\)

(5)

求める式を \(y=-\dfrac{3}{4}x+\square\) とする。

点 \((4,\ -5)\) を通るから，\(x=4\)，\(y=-5\) を代入して

\(-5\)\(=\)\(-\dfrac{3}{4}\times 4+\square\) \(-5\)\(=\)\(-3+\square\)

（両辺に \(3\) をたして）

\(-5+3\)\(=\)\(\square\) \(-2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-\dfrac{3}{4}x-2\)

(6)

求める式を \(y=\dfrac{3}{2}x+\square\) とする。

点 \((-2,\ -4)\) を通るから，\(x=-2\)，\(y=-4\) を代入して

\(-4\)\(=\)\(\dfrac{3}{2}\times \left(-2\right)+\square\) \(-4\)\(=\)\(-3+\square\)

（両辺に \(3\) をたして）

\(-4+3\)\(=\)\(\square\) \(-1\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=\dfrac{3}{2}x-1\)

(7)

求める式を \(y=-\dfrac{2}{5}x+\square\) とする。

点 \((5,\ 0)\) を通るから，\(x=5\)，\(y=0\) を代入して

\(0\)\(=\)\(-\dfrac{2}{5}\times 5+\square\) \(0\)\(=\)\(-2+\square\)

（両辺に \(2\) をたして）

\(0+2\)\(=\)\(\square\) \(2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-\dfrac{2}{5}x+2\)

(8)

求める式を \(y=\dfrac{1}{2}x+\square\) とする。

点 \((3,\ 2)\) を通るから，\(x=3\)，\(y=2\) を代入して

\(2\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}\times 3+\square\) \(2\)\(=\)\(\dfrac{3}{2}+\square\)

（両辺から \(\dfrac{3}{2}\) をひいて）

\(2-\dfrac{3}{2}\)\(=\)\(\square\) \(\dfrac{1}{2}\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\)

(9)

求める式を \(y=-\dfrac{1}{3}x+\square\) とする。

点 \((2,\ 1)\) を通るから，\(x=2\)，\(y=1\) を代入して

\(1\)\(=\)\(-\dfrac{1}{3}\times 2+\square\) \(1\)\(=\)\(-\dfrac{2}{3}+\square\)

（両辺に \(\dfrac{2}{3}\) をたして）

\(1+\dfrac{2}{3}\)\(=\)\(\square\) \(\dfrac{5}{3}\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3}\)

(10)

求める式を \(y=\dfrac{3}{4}x+\square\) とする。

点 \((-2,\ 1)\) を通るから，\(x=-2\)，\(y=1\) を代入して

\(1\)\(=\)\(\dfrac{3}{4}\times \left(-2\right)+\square\) \(1\)\(=\)\(-\dfrac{3}{2}+\square\)

（両辺に \(\dfrac{3}{2}\) をたして）

\(1+\dfrac{3}{2}\)\(=\)\(\square\) \(\dfrac{5}{2}\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}\)

大問3

次の条件を満たす直線の式を求めなさい。

(1)

変化の割合が \(3\) で，\(x=2\) のとき \(y=1\) である。

(2)

\(x\) が \(1\) 増えると \(y\) が \(2\) 減り，\(x=-1\) のとき \(y=4\) である。

(3)

直線 \(y=2x+5\) に平行で，点 \((3,\ 1)\) を通る。

(4)

直線 \(y=-x+3\) に平行で，点 \((-2,\ 4)\) を通る。

(5)

\(x\) が \(2\) 増えると \(y\) が \(6\) 増え，点 \((1,\ 0)\) を通る。

(6)

\(x\) が \(3\) 増えると \(y\) が \(2\) 増え，点 \((3,\ 5)\) を通る。

(7)

\(x\) が \(4\) 増えると \(y\) が \(2\) 減り，点 \((-4,\ 1)\) を通る。

(8)

直線 \(y=\dfrac{1}{2}x\) に平行で，点 \((4,\ -1)\) を通る。

(9)

変化の割合が \(-\dfrac{3}{2}\) で，\(x=2\) のとき \(y=-4\) である。

(10)

直線 \(y=-\dfrac{2}{3}x+1\) に平行で，点 \((-3,\ 4)\) を通る。

解答

（　）の操作は書かなくてよいが，常に意識すること。

(1)

変化の割合は傾きと等しいから，傾きは \(3\)。

求める式を \(y=3x+\square\) とする。

点 \((2,\ 1)\) を通るから，\(x=2\)，\(y=1\) を代入して

\(1\)\(=\)\(3\times 2+\square\) \(1\)\(=\)\(6+\square\)

（両辺から \(6\) をひいて）

\(1-6\)\(=\)\(\square\) \(-5\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=3x-5\)

(2)

\(x\) が \(1\) 増えると \(y\) が \(2\) 減るから，傾きは \(-2\)。

求める式を \(y=-2x+\square\) とする。

点 \((-1,\ 4)\) を通るから，\(x=-1\)，\(y=4\) を代入して

\(4\)\(=\)\(-2\times \left(-1\right)+\square\) \(4\)\(=\)\(2+\square\)

（両辺から \(2\) をひいて）

\(4-2\)\(=\)\(\square\) \(2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-2x+2\)

(3)

平行な直線は傾きが等しいから，傾きは \(2\)。

求める式を \(y=2x+\square\) とする。

点 \((3,\ 1)\) を通るから，\(x=3\)，\(y=1\) を代入して

\(1\)\(=\)\(2\times 3+\square\) \(1\)\(=\)\(6+\square\)

（両辺から \(6\) をひいて）

\(1-6\)\(=\)\(\square\) \(-5\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=2x-5\)

(4)

平行な直線は傾きが等しいから，傾きは \(-1\)。

求める式を \(y=-x+\square\) とする。

点 \((-2,\ 4)\) を通るから，\(x=-2\)，\(y=4\) を代入して

\(4\)\(=\)\(-1\times \left(-2\right)+\square\) \(4\)\(=\)\(2+\square\)

（両辺から \(2\) をひいて）

\(4-2\)\(=\)\(\square\) \(2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-x+2\)

(5)

傾きは \(\dfrac{6}{2}=3\)。

求める式を \(y=3x+\square\) とする。

点 \((1,\ 0)\) を通るから，\(x=1\)，\(y=0\) を代入して

\(0\)\(=\)\(3\times 1+\square\) \(0\)\(=\)\(3+\square\)

（両辺から \(3\) をひいて）

\(0-3\)\(=\)\(\square\) \(-3\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=3x-3\)

(6)

傾きは \(\dfrac{2}{3}\)。

求める式を \(y=\dfrac{2}{3}x+\square\) とする。

点 \((3,\ 5)\) を通るから，\(x=3\)，\(y=5\) を代入して

\(5\)\(=\)\(\dfrac{2}{3}\times 3+\square\) \(5\)\(=\)\(2+\square\)

（両辺から \(2\) をひいて）

\(5-2\)\(=\)\(\square\) \(3\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=\dfrac{2}{3}x+3\)

(7)

\(y\) は減るから，傾きは \(-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}\)。

求める式を \(y=-\dfrac{1}{2}x+\square\) とする。

点 \((-4,\ 1)\) を通るから，\(x=-4\)，\(y=1\) を代入して

\(1\)\(=\)\(-\dfrac{1}{2}\times \left(-4\right)+\square\) \(1\)\(=\)\(2+\square\)

（両辺から \(2\) をひいて）

\(1-2\)\(=\)\(\square\) \(-1\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-\dfrac{1}{2}x-1\)

(8)

平行な直線は傾きが等しいから，傾きは \(\dfrac{1}{2}\)。

求める式を \(y=\dfrac{1}{2}x+\square\) とする。

点 \((4,\ -1)\) を通るから，\(x=4\)，\(y=-1\) を代入して

\(-1\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}\times 4+\square\) \(-1\)\(=\)\(2+\square\)

（両辺から \(2\) をひいて）

\(-1-2\)\(=\)\(\square\) \(-3\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=\dfrac{1}{2}x-3\)

(9)

変化の割合は傾きと等しいから，傾きは \(-\dfrac{3}{2}\)。

求める式を \(y=-\dfrac{3}{2}x+\square\) とする。

点 \((2,\ -4)\) を通るから，\(x=2\)，\(y=-4\) を代入して

\(-4\)\(=\)\(-\dfrac{3}{2}\times 2+\square\) \(-4\)\(=\)\(-3+\square\)

（両辺に \(3\) をたして）

\(-4+3\)\(=\)\(\square\) \(-1\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-\dfrac{3}{2}x-1\)

(10)

平行な直線は傾きが等しいから，傾きは \(-\dfrac{2}{3}\)。

求める式を \(y=-\dfrac{2}{3}x+\square\) とする。

点 \((-3,\ 4)\) を通るから，\(x=-3\)，\(y=4\) を代入して

\(4\)\(=\)\(-\dfrac{2}{3}\times \left(-3\right)+\square\) \(4\)\(=\)\(2+\square\)

（両辺から \(2\) をひいて）

\(4-2\)\(=\)\(\square\) \(2\)\(=\)\(\square\)

よって　\(y=-\dfrac{2}{3}x+2\)