論理学で学ぶ数学 Theme1

実数の集合

を定める。$A$ が $B$ の部分集合となる実数定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

求める条件は

全称命題をそのまま処理するのは不便なので、否定をとる。

これを満たす実数 $x$ が存在する条件は、

すなわち、

よって $A\subset B$ の条件は、

部分集合であることの論理的言い換え

$A\subset B$ は「$A$ のすべての要素が $B$ に属する」ことです。これを論理式で書くと、

となります。「部分集合」という集合の関係を、含意 $\Rightarrow$ を使った命題に翻訳できる点が出発点です。

$p\Rightarrow q \iff \lnot p \lor q$ の同値変形

含意 $p\Rightarrow q$ は $\lnot p \lor q$ と同値です。以下のように真理値が一致します。

$p\Rightarrow q$ の真理値の納得

$p\Rightarrow q$ の真理値表で直感に反しやすいのは、$p$ が偽のとき常に T になる点です。これを腑に落とす見方を二つ挙げます。

一つ目は、T を F の補集合として捉える見方です。$p\Rightarrow q$ が F になるのは「$p$ が真かつ $q$ が偽」の1ケースだけ。残りはすべて T です。

混乱の正体は、$p\Rightarrow q$ という命題全体の真偽を問うているのに、いつのまにか $p$ 単体の真偽を見てしまうことにあります。「不良品なら返金する」という保証で言えば、判定すべきは保証（命題）が守られたかどうかなのに、つい不良品を T、正常品を F と $p$ 単体の真偽に取り違えてしまう。不良品でなければ、返金しなくても保証は破られていません（T）。判定対象はあくまで含意命題の方だと意識し、「F でなければ T」と割り切れば、下2行はそのまま腑に落ちます。

二つ目は、$p\Rightarrow q$ をフィルタと捉える見方です。

if p:
    return q  # q の真偽を返す
# p が偽 → フィルタを通過せず、判定に入りすらしない

たとえば「ログイン済みなら管理画面にアクセス可能」というルール。ログインしていないユーザーは、そもそも判定の対象に入りません。$p$ が偽とはこの「フィルタを素通りする」状態です。

ド・モルガンの法則

答案中の以下の変形はド・モルガンの法則によります。

2区間の共通部分が空でない条件

$a < x < b$ と $c < x < d$ を同時に満たす実数 $x$ が存在する条件は、

です。共通部分の左端は「左端の大きい方」、右端は「右端の小さい方」になります。

本問では $a=-1,\ b=2,\ c=k,\ d=6k$ に対応します。