論理学で学ぶ数学 Theme2

次の各文を論理記号を用いて表現せよ。また，(1)〜(4)を関数 $f(x)$ と実数 $M$ についての条件と見たとき，相互の論理的関係を調べよ。ただし，$f(x)$ は $\mathbb{R}$ で定義された実数値関数とする。

(1) $f(x)$ の値は，つねに $M$ 以下である。

(2) $f(x)$ の最大値は $M$ である。

(3) $f(x)$ は $M$ 以下のすべての実数値をとり得る。

(4) $f(x)$ の値域は区間 $(-\infty, M]$ である。

$f(x)$ は $\mathbb{R}$ で定義された実数値関数とし，$M\in\mathbb{R}$ とする。

(1) は

(2) は，「$f(x)$ の値はつねに $M$ 以下である」かつ「$M$ を値としてとる $x$ が存在する」と言い換えられるから，

(3) は

(4) は，「$f(x)$ の値はつねに $M$ 以下である」かつ「$M$ 以下のすべての実数値をとり得る」と言い換えられるから，

次に，相互の論理的関係を調べる。

(2) ならば，$f(x)$ の値はつねに $M$ 以下であるから，

また，(4) は (1) と (3) をあわせた条件であるから，

したがって，

さらに，(1) と (3) が成り立てば，特に $y=M$ として $f(x)=M$ となる $x$ が存在する。よって，

以上より，

一方，(2) から (3) は従わない。実際，$f(x)=M$ とすれば (2) は成り立つが，$M$ 未満の値をとらないから (3) は成り立たない。

また，(3) から (2) も従わない。実際，$f(x)=x$，$M=0$ とすれば，$0$ 以下のすべての値をとるので (3) は成り立つが，$f(x)\le 0$ はつねには成り立たないから (2) は成り立たない。

この回は，解法を覚えるというより，日本語と論理式の対応を覚える回です。見た目の似た文でも，$\forall$ と $\exists$ の位置が変わるだけで意味は大きく変わります。

「つねに $M$ 以下」と「最大値は $M$」は違う

(1)

が言っているのは，「値が上に飛び出さない」ということだけです。これは $M$ が上界であることを表しています。

一方，「最大値は $M$」と言うためには，それだけでは足りません。さらに

が必要です。つまり，$M$ を実際にとる点が存在しなければなりません。

不等式の問題で等号成立条件を調べるのは，まさにこの存在条件を確認するためです。$f(x)\le M$ を示しただけでは上界が分かるだけで，最大値が分かったことにはなりません。

$\forall y,\exists x$ は「値を埋める」条件

(3)

は，「$M$ 以下の値を全部出せる」という意味です。

ここで大事なのは，$\forall x$ ではなく $\forall y$ になっていることです。これは，$x$ についての条件ではなく，値そのもの $y$ について「その値を出せるか」を聞いています。

したがって，(3) だけでは $M$ より大きい値をとらないとは言っていません。値域を $(-\infty, M]$ と言うには，「飛び出さない」条件である (1) も必要です。

値域は 2 つの条件に分かれる

(4) の「値域は $(-\infty, M]$ である」は，「値はつねに $M$ 以下である」ことと「$M$ 以下のすべての値をとる」ことの 2 つに分かれます。

つまり，

です。

値域を言う問題では，「範囲からはみ出さない」と「その範囲をちゃんと埋める」を分けて考えると整理しやすくなります。

この問題では，自然言語の文を読んだときに，何に対して $\forall$ を置くのか，どこで $\exists$ が必要になるのかを見抜くことが大切です。