論理学で学ぶ数学 Theme3

$a$ を実数の定数として、実数 $x$ についての条件

$$\begin{aligned} p(x)&: x^2+a^2<15,\\ q(x)&: x^2+6x+a^2-2a<5 \end{aligned}$$

を考える。

(1) $p(x)$ を満たす $x$ が存在するための $a$ の条件を求めよ。

(2) $q(x)$ を満たす $x$ が存在するための $a$ の条件を求めよ。

(3) $p(x),q(x)$ をともに満たす $x$ が存在するための $a$ の条件を求めよ。

(1)

求める条件は

$$\exists x\in\mathbb{R},\ x^2+a^2<15$$

である。

$$\begin{aligned} \exists x\in\mathbb{R},\ x^2+a^2<15 &\iff \exists x\in\mathbb{R},\ x^2<15-a^2 \\ &\iff 0<15-a^2 \\ &\iff a^2<15 \end{aligned}$$

よって、求める条件は

$$-\sqrt{15}<a<\sqrt{15}$$

(2)

求める条件は

$$\exists x\in\mathbb{R},\ x^2+6x+a^2-2a-5<0$$

である。

$$f(x)=x^2+6x+a^2-2a-5$$

とおくと、その判別式を $D$ として

$$\frac{D}{4}=3^2-(a^2-2a-5)=14-a^2+2a$$

よって

$$\begin{aligned} \exists x\in\mathbb{R},\ x^2+6x+a^2-2a-5<0 &\iff \frac{D}{4}>0 \\ &\iff 14-a^2+2a>0 \\ &\iff a^2-2a-14<0 \\ &\iff (a-1)^2<15 \end{aligned}$$

求める条件は

$$1-\sqrt{15}<a<1+\sqrt{15}$$

(3) 解法1

求める条件は

$$\exists x\in\mathbb{R},\ p(x)\land q(x)$$

である。

$q(x)$ は平方完成により

$$q(x):\ (x+3)^2+(a-1)^2<15$$

である。

そこで

$$F(x)=x^2+a^2,\qquad G(x)=(x+3)^2+(a-1)^2$$

とおくと、$p(x)\iff F(x)<15$、$q(x)\iff G(x)<15$ であり、

$$\begin{aligned} \exists x\in\mathbb{R},\ p(x)\land q(x) &\iff \exists x\in\mathbb{R},\ F(x)<15\land G(x)<15 \\ &\iff \exists x\in\mathbb{R},\ \max\{F(x),G(x)\}<15 \\ &\iff \min_{x\in\mathbb{R}}\max\{F(x),G(x)\}<15 \end{aligned}$$

ここで

$$F(x)-G(x)=x^2+a^2-\{(x+3)^2+(a-1)^2\}=-6x+2a-10$$

より、$F(x)=G(x)$ となる点は $x=\dfrac{a-5}{3}$ である。これを $x_0=\dfrac{a-5}{3}$ とおく。

$a$ は定数であるから、$F,G$ は $a$ の値によらずそれぞれ $x=0,\ x=-3$ を頂点とする下に凸な放物線である。また

$$F(x)>G(x)\iff x<x_0,\qquad F(x)<G(x)\iff x>x_0$$

したがって、$\max\{F(x),G(x)\}$ の最小点は次のように決まる。

$$\begin{aligned} x_0<-3 &\ (a<-4)\ \text{のとき、最小点は}\ x=-3 \\ -3\le x_0\le 0 &\ (-4\le a\le 5)\ \text{のとき、最小点は}\ x=x_0 \\ x_0>0 &\ (a>5)\ \text{のとき、最小点は}\ x=0 \end{aligned}$$

よって

$$\min_{x\in\mathbb{R}}\max\{F(x),G(x)\}= \begin{cases} (a-1)^2 & (a<-4),\\[4pt] a^2+\left(\dfrac{a-5}{3}\right)^2 & (-4\le a\le 5),\\[8pt] a^2 & (a>5) \end{cases}$$

$a<-4$ のときは $(a-1)^2>25>15$、$a>5$ のときは $a^2>25>15$ となり、いずれも $\min<15$ を満たさない。したがって $-4\le a\le 5$ の場合だけを考えればよく、このとき

$$\begin{aligned} a^2+\left(\frac{a-5}{3}\right)^2<15 &\iff 9a^2+(a-5)^2<135 \\ &\iff 10a^2-10a-110<0 \\ &\iff a^2-a-11<0 \end{aligned}$$

これを解いて、求める条件は

$$\frac{1-3\sqrt{5}}{2}<a<\frac{1+3\sqrt{5}}{2}$$

(3) 解法2（$(x,a)$ 平面で考える）

$(x,a)$ 平面で考える。条件 $p(x,a)$ は

$$x^2+a^2<15$$

である。これを満たす点 $(x,a)$ 全体は、中心 $(0,0)$、半径 $\sqrt{15}$ の円の内部。また条件 $q(x,a)$ は、平方完成により

$$(x+3)^2+(a-1)^2<15$$

である。これを満たす点 $(x,a)$ 全体は、中心 $(-3,1)$、半径 $\sqrt{15}$ の円の内部。

したがって、

$$\exists x\in\mathbb{R},\ p(x,a)\land q(x,a)$$

とは、高さ $a$ の水平線が、2つの円の内部の共通部分と交わることを意味する。

よって、求める $a$ の範囲は、2つの円の内部の共通部分を $a$ 軸方向に射影した範囲。

まず、その射影の上下端が円の頂点で決まるかを確認する。共通部分の上端は、第1の円の上端 $(0,\sqrt{15})$ を超えない。もしこの点で上端が決まるなら、$(0,\sqrt{15})$ は第2の円の内部になければならない。第2の円の左辺に代入すると

$$(0+3)^2+(\sqrt{15}-1)^2=9+15-2\sqrt{15}+1=25-2\sqrt{15}$$

であり、$5>\sqrt{15}$ より

$$25-2\sqrt{15}>15$$

だから、$(0,\sqrt{15})$ は第2の円の外部にある。よって、上端は第1の円の頂点では決まらない。

同様に、下端は第2の円の下端 $(-3,1-\sqrt{15})$ で決まるかを調べる。第1の円の左辺に代入すると

$$(-3)^2+(1-\sqrt{15})^2=25-2\sqrt{15}>15$$

だから、$(-3,1-\sqrt{15})$ は第1の円の外部にあり、下端もこの頂点では決まらない。

したがって、共通部分の上下端は、2つの円周の共有点で決まる。そこで共有点を求める。

$$\begin{aligned} \begin{cases} x^2+a^2=15\\ (x+3)^2+(a-1)^2=15 \end{cases} &\iff \begin{cases} x^2+a^2=15\\ 6x-2a+10=0 \end{cases} \\ &\iff \begin{cases} x^2+a^2=15\\ a=3x+5 \end{cases} \\ &\iff \begin{cases} 10x^2+30x+10=0\\ a=3x+5 \end{cases} \\ &\iff \begin{cases} x^2+3x+1=0\\ a=3x+5 \end{cases} \\ &\iff \begin{cases} x=\dfrac{-3\pm\sqrt5}{2}\\[4pt] a=\dfrac{1\pm3\sqrt5}{2} \end{cases} \end{aligned}$$

したがって、2つの円周の共有点の $a$ 座標は

$$\frac{1-3\sqrt5}{2},\qquad \frac{1+3\sqrt5}{2}$$

である。もとの不等式はどちらも円の内部を表すので、円周上の共有点そのものは含まれない。よって、求める $a$ の範囲は

$$\frac{1-3\sqrt{5}}{2}<a<\frac{1+3\sqrt{5}}{2}$$

今回の中心は、$\exists x$ をただ「外す」のではなく、何を意味しているかを読み替えることです。

「存在する」を最小値で読む

まず (1) では $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2+a^2<15$ を考えました。ここで $a$ は固定された定数で、動かすのは $x$ です。したがって、見ているのは「ある $x$ をうまく選べば不等式を満たせるか」という条件です。

このとき $x^2$ の最小値は $0$ ですから、

$$\exists x\in\mathbb{R},\ x^2<15-a^2 \iff 0<15-a^2$$

となります。つまり、$\exists x$ は「最小値が基準を下回る」と読み替えられるわけです。

「存在する」を判別式で読む

(2) では、$x$ の二次式が負になる実数 $x$ が存在する条件を、判別式で読み替えています。$x^2$ の係数が正である二次式は上に開く放物線ですから、それが $x$ 軸より下に入る、すなわち $f(x)<0$ を満たす $x$ が存在することは、$x$ 軸と2点で交わること、つまり $D>0$ と同値です。

(1) が「最小値が基準を下回る」だったのに対し、(2) は「放物線が $x$ 軸を割り込む」。どちらも、$\exists x$ を $x$ の関数のふるまいに翻訳している点は同じです。

$\exists x,\ p\land q$ は「同じ $x$」を要求する

(3) では話が一段難しくなります。ここで大事なのは、

$$\exists x,\ p(x)\land q(x)$$

と

$$(\exists x,\ p(x))\land(\exists x,\ q(x))$$

は違う、ということです。

前者は「同じ $x$ が $p,q$ の両方を満たす」という意味です。後者は「$p$ を満たす $x$ はいるし、$q$ を満たす $x$ もいる」という意味で、同じ $x$ である必要はありません。

集合で書けば、$P_a=\{x\mid p(x,a)\}$、$Q_a=\{x\mid q(x,a)\}$ として

$$\exists x,\ p(x,a)\land q(x,a) \iff P_a\cap Q_a\neq\varnothing$$

です。つまり「共通解があるか」を見ています。

$\max$ を経由して $\min$ に読み替える

(3) を読み替えます。ここで素朴に $P_a,Q_a$ を区間で出していくと、根号を含む重い不等式が出てきます。そこで別の見方をしました。$F(x)<15$ かつ $G(x)<15$ は、大きい方ですら $15$ 未満であることと同値です。

$$F(x)<15\land G(x)<15 \iff \max\{F(x),G(x)\}<15$$

ここでさらに、$\displaystyle\min_{x\in\mathbb{R}}$ という記法を使います。$\displaystyle\min_{x\in\mathbb{R}}A(x)$ は、$x$ を実数全体で動かしたときの $A(x)$ の最小値を表します。たとえば $\displaystyle\min_{x\in\mathbb{R}}(x^2+1)=1$ です。記号の下に $x\in\mathbb{R}$ と添えるのは、「どの文字をどの範囲で動かして最小をとるか」を示すためです。これを使うと、

$$\exists x\in\mathbb{R},\ \max\{F(x),G(x)\}<15 \iff \min_{x\in\mathbb{R}}\max\{F(x),G(x)\}<15$$

と読み替えます。戸惑いやすいのは、$\displaystyle\min_{x\in\mathbb{R}}$ と書くと $x$ が残っているように見えることです。しかし、これは「$x$ を全部動かしたときの最小値」を表しており、結果はもう $x$ の式ではありません。$x$ についての量化子は、この段階で消えています。

なぜ「存在する」が「最小値」に化けるのかは、(1) と同じ理屈です。「$15$ 未満にできる $x$ がある」ことと、「とりうる値の一番低いところが $15$ 未満」であることは同じです。一番低いところすら届かなければどこも届かず、一番低いところが届けばそこで条件が満たせます。

この読み替えができると、「条件を満たす $x$ が存在するかを調べる問題」が「最小値が基準を下回るかを調べる問題」になります。今回のように解集合で追うと計算が重くなる問題では、とても有効な見方です。

つり合う点で最小をとる

解法1の一番難しいところは、$\max\{F(x),G(x)\}$ の最小がどこで起こるかを見抜く点です。ここを丁寧にたどります。

まず、$F(x)=x^2+a^2$ は $x=0$ で最小、$G(x)=(x+3)^2+(a-1)^2$ は $x=-3$ で最小をとります。2つの放物線は同じ形（同じ開き方）で、頂点の位置だけが横にずれて並んでいます。

ここで $H(x)=\max\{F(x),G(x)\}$、つまり「各 $x$ で2つのうち大きい方をとった値」を考えます。$F(x)=G(x)$ となる $x$ を境にして、どちらが大きいかが入れかわります。

境より右側では上側にあるのは $F$ なので，

$$H(x)=F(x)$$

境より左側では上側にあるのは $G$ なので，

$$H(x)=G(x)$$

つまり $H(x)$ のグラフは、右側は $F$ の放物線、左側は $G$ の放物線をつなぎ合わせた、V字のように谷を作る形になります。そして谷の底は、ちょうど2つの放物線が交わる $F(x)=G(x)$ の点です。

なぜ谷の底がそこなのかは、境の左右で $H(x)$ がどう動くかを見ると分かります。境より右側で $x$ を左へ動かすと、$H(x)=F(x)$ は小さくなっていきます（$F$ の頂点 $x=0$ へ近づくから）。逆に境より左側で $x$ を右へ動かすと、$H(x)=G(x)$ も小さくなっていきます（$G$ の頂点 $x=-3$ へ近づくから）。両側から境へ近づくほど $H(x)$ は下がるので、最小は境、すなわち $F(x)=G(x)$ で達成されます。

直感的に言えば、$H$ は「大きい方」を見るので、片方だけを小さくしても、もう片方が大きいままなら $H$ は下がりません。両方をできるだけ同時に小さくする妥協点が、ちょうど2つが等しくなる場所なのです。

ただし、この「谷の底が交点」という話には但し書きが要ります。境（$F=G$ となる $x$）が2つの頂点 $x=-3,\ 0$ の間にあるときは、いま見たとおり交点が谷の底です。しかし $a$ が大きく外れて境が頂点の外側へ出てしまうと、谷の底は交点ではなく、上側にある放物線の頂点そのものになります。答案で $a<-4$、$-4\le a\le 5$、$a>5$ と場合分けしたのは、この「境がどこにあるか」を $a$ で仕分けていたわけです。本問の答えはちょうど真ん中の場合に収まります。

この「つり合うところを見る」という発想は、いつでも機械的に使える公式ではありません。しかし今回のように、同じ向きに開く二次関数がずれて並んでいるときには、とても自然な考え方になります。

領域の切り口として見る

もう一つ大事な見方として、(3) は $(x,a)$ 平面で考えることもできます。条件 $p(x,a)$ は

$$x^2+a^2<15$$

ですから、これは中心 $(0,0)$、半径 $\sqrt{15}$ の円の内部です。条件 $q(x,a)$ は

$$(x+3)^2+(a-1)^2<15$$

ですから、中心 $(-3,1)$、半径 $\sqrt{15}$ の円の内部です。

そして $\exists x,\ p(x,a)\land q(x,a)$ は、「高さ $a$ の水平線で切ったとき、2つの円の共通部分との切り口が空でない」という意味になります。つまり、$a$ を固定して $x$ の存在を調べるという最初の見方を、平面図形として一気に見ているわけです。

この見方を使うと、はじめに注意した「$\exists x,\ p\land q$ と $(\exists x,\ p)\land(\exists x,\ q)$ は違う」が、そのまま絵になります。水平線の高さ $a$ を上から下へ動かしながら、その線が円とどう交わるかを4つの段階で見てみましょう。各段階で、$p$ を満たす $x$ の範囲を青、$q$ を満たす $x$ の範囲を橙、両方を満たす（重なる）範囲を緑で示します。

① 水平線が高すぎて、どちらの円とも交わらない。$p$ を満たす $x$ も $q$ を満たす $x$ もない。

② 一方の円とだけ交わる。たとえば $q$ を満たす $x$ はあるが、$p$ を満たす $x$ はない。

③ 両方の円と交わる。青の区間も橙の区間も存在する。しかし2つの区間は横にずれていて重ならない。つまり $p$ を満たす $x$ はいる、$q$ を満たす $x$ もいるが、同じ $x$ で両方は満たせない。これが $(\exists x,p)\land(\exists x,q)$ は真でも $\exists x,(p\land q)$ は偽になる、ちょうどその状況です。

④ 水平線が共通部分を貫く。青と橙の区間が重なり、その重なりが緑の区間です。ここではじめて、同じ $x$ が $p$ と $q$ を両方満たします。

③と④の違いは、青と橙の区間が「離れている」か「重なっている」かだけです。$\exists$ を $\land$ に安易に分配してよいなら③でも解があることになってしまいますが、実際には重なり（緑）がなければ共通の $x$ は存在しません。分配できない理由が、区間の重なりという形で目に見えるわけです。