「マイナス×マイナス」がプラスになる理由

$$(-1)\times(-1)=1$$

になるのは、

数学ではそういうルールになっているから

です。

そして、そのルールは

計算全体がうまくそろうように決められています。

だから、最初の段階では

「そういうものなんだな」

とそのまま受け止めれば大丈夫です。

無理に深い意味を探さなくてかまいません。

この話になると、ときどき

• 借金が減ると得になる
• 後ろ向きに後ろへ進むと前へ進む
• ゴミを泥棒が持っていったら得になる

のようなたとえ話が出てきます。

たしかに、そういう説明でイメージしやすくなる人もいるかもしれません。

でも、私はあまりそこを大事には考えていません。

なぜかというと、

本当に大事なのは、たとえ話ではなく、数学のルールがきちんとそろっていること

だからです。

つまり、たまたまそうなったのではなく、

そうしたほうが計算がきれいにつながるようにルールを決めている

ということです。

なので、「なぜ？」と考えすぎて止まるより、
まずは

ルールとして受け入れて先に進む

のがよいです。

数学には、まず受け入えて使うほうがよいことがあります。

たとえば負の数でも、かけ算の符号はこうなります。

• $+\times+=+$
• $+\times-=-$
• $-\times+=-$
• $-\times-=+$

この最後だけ少し不思議に感じるかもしれません。
でも、最初はそこで立ち止まりすぎなくて大丈夫です。

「数学ではそういうルールなんだな」

まずはそれで十分です。

実際、数学ではこういうことは珍しくありません。
先にルールを受け入れて、あとから少しずつ理解が深まることはよくあります。

勉強していると、

ちゃんと意味がわからないと納得できない

と思うことがあります。

もちろん、それは悪いことではありません。
でも、毎回そこで止まってしまうと、かえって進みにくくなります。

特に中1の最初なら、今いちばん大事なのは

• 新しいルールに慣れること
• 符号の扱いに慣れること
• 計算できるようになること

です。

だから、この段階では

難しく考えず、そのまま受け止める

で大丈夫です。

「それでも少し理屈を知りたい」という人向けに、少しだけ説明します。

ここから先は、今の段階ではまだ習っていない内容が少し入るかもしれません。
なので、ここは「こういう考え方もあるんだな」と読むくらいで大丈夫です。
全部をきちんと理解しきれなくても、まったく問題ありません。

考えたいのは、次の式です。

$$(-1)\times(-1)$$

これがなぜ $1$ になるのかを見てみます。

ここで使いたいのは、かけ算を足し算に分けて考えるやり方です。
これはこのあと中学で学ぶ分配法則というルールです。

たとえば、

$$2\times(3+4)=2\times3+2\times4$$

となります。

同じように、かけ算は、かっこの中の足し算に分けて考えることができます。
これを式で書くと、

$$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$

となります。

今はまだこの名前や式を習っていなくても、
「こういうルールがあるんだな」くらいに読めば大丈夫です。

では、まず次の式を考えます。

$$(-1)\times0=0 \qquad \cdots ①$$

これは、どんな数でも $0$ をかけると $0$ になるからです。

次に、$0$ は

$$0=(-1)+1 \qquad \cdots ②$$

と書けます。

ここで、①の左辺にある $0$ を、②の右辺の $(-1)+1$ に置きかえます。
このように、ある式を使って、ほかの式の中の数や文字を置きかえることを「代入」といいます。

すると、①は

$$(-1)\times\bigl((-1)+1\bigr)=0 \qquad \cdots ③$$

となります。

次に、③の左辺に分配法則を使います。
すると、左辺は

$$(-1)\times(-1)+(-1)\times1$$

と書けるので、③は

$$(-1)\times(-1)+(-1)\times1=0 \qquad \cdots ④$$

となります。

ここで、

$$a\times1=a$$

という、$1$ をかけても数は変わらないというルールを使うと、

$$(-1)\times1=-1 \qquad \cdots ⑤$$

です。

そこで、今度は④の左辺にある $(-1)\times1$ を、⑤の右辺の $-1$ に置きかえます。
これも代入です。

すると、④は

$$(-1)\times(-1)+(-1)=0 \qquad \cdots ⑥$$

となります。

ここで、新しく

$$\Box = (-1)\times(-1) \qquad \cdots ⑦$$

とします。
これは、$(-1)\times(-1)$ を

$\Box$ を使って表す

ということです。

すると、⑥の左辺にある $(-1)\times(-1)$ を、⑦を使って $\Box$ に置きかえることができます。
これも代入です。

すると、⑥は

$$\Box+(-1)=0 \qquad \cdots ⑧$$

となります。

⑧を見ると、$\Box$ に入る数は、$-1$ を足して $0$ になる数です。
その数は $1$ なので、

$$\Box=1 \qquad \cdots ⑨$$

です。

そして、⑦で

$$\Box = (-1)\times(-1)$$

と表していたので、

$$(-1)\times(-1)=1$$

となります。

つまり、今までの計算の決まりをこわさないように考えると、$(-1)\times(-1)$ は $1$ になるのです。

ここは少し先取りの内容なので、
「へえ、こう考えることもできるんだな」くらいで十分です。
今の段階では、まず

「マイナス × マイナス ＝ プラス」

を計算できるようになることのほうが大切です。

「-1 × -1 = 1」は、最初は不思議に見えるかもしれません。

でも、中1の最初なら、まず大事なのは

難しく考えすぎず、数学のルールとしてそのまま受け止めること

です。

数学は、計算がうまくそろうようにルールを作っています。
だから「マイナス×マイナス」がプラスになるのも、そのルールの一つです。

まずは素直に受け入えて、使えるようになる。
細かい理屈は、そのあとで十分です。