関数｜中学の関数 #01

「関数」と聞くと、式が出てきて急に難しく感じるかもしれません。

しかし、最初から式として理解しようとする必要はありません。
関数の本質は、もっと基本的なところにあります。

関数とは、

あるものを入力すると、一定のルールにしたがって別のものを返す仕組み

です。

まずは式ではなく、この「変換」という見方から考えてみます。

入れた言葉の文字数を数えて返す仕組みを考えます。

この仕組みに Count と名前をつけましょう。

$\operatorname{Count}(\text{＜ここに言葉を入れる＞})$

かっこの中に言葉を入れると、その文字数を返してくれるわけです。

• $\operatorname{Count}(\text{"a"}) = 1$
• $\operatorname{Count}(\text{"hi"}) = 2$
• $\operatorname{Count}(\text{"hello"}) = 5$

ここで大事なのは、この変換器が気分で答えを変えたりしないことです。

"hello" を入れたら、いつでも 5 が返ります。
ある日は 5、別の日は 6 ということはありません。

同じ入力に対して、結果は必ず同じになる。

これが関数の基本的な性質です。

毎回「Count」と書くのは長いので、記号で表すことにします。

数学では、関数を表す文字として $f$ を使うことが多いので、ここでもそれに合わせます。
$f$ は function の頭文字です。

• $f(\text{"a"}) = 1$
• $f(\text{"hi"}) = 2$
• $f(\text{"hello"}) = 5$

ただし、大事なのは $f$ という文字そのものではありません。
別の文字を使ってもかまいません。

大事なのは、

何を入れたときに、何が返るのかというルール

つまり 入力と出力の対応関係 です。

練習問題

問題

ここでは、半角スペースを _ に置き換えて表し、_ も 1 文字として数えるものとする。

$f(\text{"hello\_world"})$ の値を求めよ。

ここで、少し長い単語を考えてみます。

"supercalifragilisticexpialidocious"

かなり長いので、すぐに文字数を数えるのは面倒です。

しかし、この単語の文字数は

$f(\text{"supercalifragilisticexpialidocious"})$

と書けます。

ここが大事なところです。
まだ具体的な数字を書いていなくても、こう書いた時点で

「その単語の文字数を数えた結果」

を表しています。

つまり $f(\ )$ という形は、途中の記号ではなく、

結果そのものを表すための書き方

なのです。自分で今すぐ数えなくてもかまいません。

練習問題

問題

$f$ を「入れた言葉の文字数を返す関数」とする。
実際に数えずに、"abcdefg" が何文字かを $f$ を用いて表せ。

今度は、数を入力する関数を考えます。

「入力した数に 1 を足して返す関数」

を、同じく $f$ と書くことにします。

• $f(1) = 1 + 1 = 2$
• $f(2) = 2 + 1 = 3$
• $f(3) = 3 + 1 = 4$

ここでも見方は変わりません。

入力 → ルール → 出力

という構造になっています。

言葉のときの $f(\text{"hello"}) = 5$ と、数のときの $f(2) = 3$。
ルールの中身は違いますが、共通しているのは、

何かを入力し、決まったルールにしたがって結果を返している

ということです。

だから関数は、最初から「計算の式」と考えるよりも、変換の仕組み として理解したほうが、本質が見えやすくなります。

練習問題

問題

この $f$ が「入力した数に 1 を足して返す関数」であるとき、$f(4)$ の値を求めよ。

先ほどの「入力した数に 1 を足して返す関数」を、式で書いてみます。

$f(x) = x + 1$

ここで $x$ は、入力する数を表しています。

使う文字は必ずしも $x$ である必要はありません。
それでも $x$ がよく使われるのは、デカルトが使った文字の使い分けが、そのまま慣習として残っているからです。

たとえば $x = 2$ のとき、

$f(2) = 2 + 1 = 3$

となります。

つまり $f(x) = x + 1$ という式は、

「$x$ を入力すると、$x + 1$ を返す」

というルールを書き表したものです。

練習問題

問題

$f(x) = x + 1$ のとき、$f(5)$ の値を求めよ。

「$f(\ )$ は結果そのものを表す」という見方は、式が複雑になったときに特に役立ちます。

たとえば、次のような関数を考えてみます。

中学校でこのままの形が出てくることはありません。
ただ、少し複雑な式をあえて見ると、関数をどう見ればよいかがはっきりします。

この式を見たとき、多くの人はまず

「うわ、計算が大変そうだ」

と思うはずです。その反応で大丈夫です。

ここで大事なのは、その場ですぐ全部を計算することではありません。

たとえば、この関数の $x=3$ のときの値が分かれば、その先の道筋が見えそうだとします。
そのときは、無理にすぐ計算しなくても、

と書いておけばよいのです。

$f(3)$ は、まだ具体的な数に直していなくても、

「3 をこの関数に入れた結果」

を表しています。

つまり、

とりあえず $f(3)$ とおいて、先に全体の流れを考える

という進み方ができます。

数学では、この考え方がとても大切です。

問題が複雑になるほど、細かい計算をそのたびに全部やろうとすると、

• 今必要なものは何か
• それが答えとどうつながるのか
• 全体としてどんな流れになっているのか

が見えにくくなってしまいます。

必要な結果を $f(3)$ のようにひとまとまりで表しておけば、先に全体を見ることができます。

細かい計算はいったん脇に置いて、まず全体を見る。
枝葉ではなく、幹を見る。

関数は、そのためにも使える道具なのです。

この記事は、中学の関数シリーズの1本目です。

関数の考え方が見えてきたら、次は 関数の値 に進むと、$f$、$f(x)$、$y=f(x)$ の違いを整理しやすくなります。

シリーズ全体は、次の順番で読めます。

• #01 関数
• #02 関数の値
• #03 座標
• #04 一次関数のグラフ
• #05 変化の割合
• #06 一次関数の式