関数の値｜中学の関数 #02

たとえば、

$$f(x)=3x+5$$

という関数を考えます。

これは、

「$x$ を入れると、$3x+5$ を返す関数」

を表しています。

このとき、$f$ はその関数そのものを表しています。

一方で、

$$f(3)$$

は、関数 $f$ に 3 を入れた結果を表しています。

実際に計算すると、

$$f(3)=3\times 3+5=14$$

です。

つまり、

• $f$ は関数そのもの
• $f(3)$ は、関数 $f$ に 3 を入れた結果

です。

同じように、

$$f(2),\quad f(10)$$

なども、それぞれ 2 や 10 を入れたときの結果を表しています。

ここで大切なのは、$f$ と $f(3)$ は同じものではないということです。

練習問題

問題1

次のうち、関数そのものを表しているものをすべて選べ。

(1) $f$ (2) $f(3)$ (3) $f(x)$ (4) $y$

解答1

(1) $f$

問題2

$$f(x)=2x+1$$

とする。

(1) $f$ と $f(4)$ の違いを言葉で説明せよ。 (2) $f(4)$ の値を求めよ。

解答2

(1) $f$ は関数そのものを表している。$f(4)$ は、関数 $f$ に 4 を入れた結果を表している。 (2) 計算は次のとおりである。

$$f(4)=2\times 4+1=9$$

$$f(3)$$

という形を見ると、「まだ計算が終わっていない式」のように感じるかもしれません。

でも、$f(3)$ は単なる途中の記号ではありません。

これは、

関数 $f$ に 3 を入れた結果そのもの

を表しています。

この例では、その値は 14 です。
けれど、14 と書く前から、$f(3)$ はすでに意味のあるまとまりです。

つまり、

$$f(3)$$

と書いた時点で、

「3 を関数 $f$ に入れたときに出てくる値」

を表しているわけです。

この見方はとても大切です。

数学では、いつもその場ですぐ最後まで計算するとは限りません。
ときには、結果を先にひとまとまりで表しておくほうが、考えやすいことがあります。

練習問題

問題

$$f(x)=x+7$$

とする。

(1) $f(5)$ が何を表しているか、計算結果ではなく、言葉で答えよ。 (2) $f(5)$ の値を求めよ。

▶解答を見る

(1) 5 を関数 $f$ に入れたときの結果を表している。 (2) 計算は次のとおりである。

$$f(5)=5+7=12$$

関数に数を入れたときに出てくる結果には、名前をつけて表すことがあります。

そのときによく使う文字が

$$y$$

です。

もちろん、結果を表す文字は $y$ でなくてもかまいません。
ただ、数学では入力を $x$、その結果を $y$ で表すことが多いので、ここでも $y$ を使います。

たとえば、3 を入れたときの結果を $y$ と呼ぶことにすると、

$$y=f(3)$$

と書けます。

これは、

「$y$ は 3 を関数 $f$ に入れた結果である」

という意味です。

この場合、$f(3)=14$ なので、

$$y=14$$

です。

つまり、$y$ は新しい別のものではなく、
関数が返した結果に名前をつけたものです。

ここで整理すると、

• $f$ は関数の名前
• $y$ は結果の名前

です。

練習問題

問題

$$f(x)=3x+1$$

とし、

$$y=f(2)$$

とする。

(1) $y=f(2)$ とはどのような意味か説明せよ。 (2) $y$ の値を求めよ。

▶解答を見る

(1) $y$ は、2 を関数 $f$ に入れた結果という意味である。 (2) 計算は次のとおりである。

$$y=f(2)=3\times 2+1=7$$

したがって、次のようになる。

$$y=7$$

今は 3 を入れた場合を考えましたが、3 に限らず、どんな数を入れたときの結果も同じように表せます。

入力を $x$、その結果を $y$ とすると、

$$y=f(x)$$

と書けます。

これは、

「$x$ を関数 $f$ に入れた結果を $y$ と呼ぶ」

という意味です。

たとえば、

$$f(x)=3x+5$$

なら、

$$y=f(x)$$

より、

$$y=3x+5$$

となります。

ここで、関係をいったん表で整理すると、次のようになります。

つまり、

• $f(x)$ は結果を表している
• $y$ もその結果を表している

ので、

$$y=f(x)$$

と書けるわけです。

練習問題

問題

$$f(x)=4x-1$$

とする。

(1) $y=f(x)$ とはどのような意味か、言葉で説明せよ。 (2) $x=2$ のときの $y$ の値を求めよ。

▶解答を見る

(1) $x$ を関数 $f$ に入れた結果を $y$ と呼ぶ、という意味である。 (2) 計算は次のとおりである。

$$y=f(2)=4\times 2-1=7$$

したがって、次のようになる。

$$y=7$$

ここまで来ると、

$$y=3x+5$$

という式の見え方が変わってきます。

これはただ文字が並んでいるのではなく、

「$x$ を入れると、その結果が $3x+5$ になり、その結果を $y$ と呼ぶ」

ということを表しています。

たとえば $x=3$ なら、

$$y=3\times 3+5=14$$

です。

これは、

$$f(3)=14$$

と見たときと同じ結果です。

つまり、

$$y=3x+5$$

という式は、

$x$ によって決まる結果を $y$ で表した式

と見ることができます。

この見方ができると、あとで出てくる

$$y=ax+b$$

も、ただ形を覚えるのではなく、

「$x$ を入れたときの結果を表す式」

として理解しやすくなります。

練習問題

問題

$$y=2x+3$$

とする。

(1) この式が何を表しているか、言葉で説明せよ。 (2) $x=4$ のときの $y$ の値を求めよ。

▶解答を見る

(1) $x$ を入れたときの結果を $y$ で表している式である。 (2) 計算は次のとおりである。

$$y=2\times 4+3=11$$

関数は、いつもその場で計算するためだけのものではありません。
結果をひとまとまりで表すための道具としても使えます。

たとえば、ある数を $t$ とします。
この $t$ を関数 $f$ に入れた結果は、

$$f(t)$$

と書けます。

ここで、$t$ がどんな数かまだ決まっていなくてもかまいません。

$f(t)$ と書いた時点で、それは

「関数 $f$ に $t$ を入れた結果」

を表しています。

このように書けると、その場で細かく計算しなくても、

• 何を求めたいのか
• 何と何を比べればよいのか
• どんな条件を使えばよいのか

を、先に整理しやすくなります。

今の段階では、$f(t)$ のように書く意味がまだはっきりしないかもしれません。
でも、こうして値をひとまとまりで表せるようになると、これから先の問題で、細かい計算にすぐ入らずに、まず全体の筋道を考えやすくなります。

その便利さは、問題演習の中で少しずつ実感できるはずです。

練習問題

問題

$$f(x)=2x+5$$

とする。

(1) $f(t)$ が何を表しているか、言葉で説明せよ。 (2) $f(t)$ を式で表せ。

▶解答を見る

(1) $t$ を関数 $f$ に入れた結果を表している。 (2) 式は次のとおりである。

$$f(t)=2t+5$$

ここまでの内容を整理すると、次のようになります。

• $f$ は関数そのものを表す
• $f(x)$ は、関数 $f$ に $x$ を入れた結果を表す
• $f(3)$ は、関数 $f$ に 3 を入れた結果を表す
• $y$ は、その結果に名前をつけたものである

したがって、

$$y=f(x)$$

は、

「関数の結果を $y$ で表している」

という意味になります。

そして、

$$y=3x+5$$

や

$$y=ax+b$$

のような式も、

「$x$ を入れたときの結果を $y$ で表している式」

として見られるようになります。

練習問題

問題

$$f(x)=5x-2$$

とする。

(1) 次の空らんを埋めよ。

• $f$ は関数そのものを表す
• $f(x)$ は、関数 $f$ に $x$ を入れた __ を表す
• $y$ は、その __ に名前をつけたものである

(2) $f(3)$ の値を求めよ。

▶解答を見る

(1) 空らんを埋めると、次のようになる。

• $f(x)$ は、関数 $f$ に $x$ を入れた結果を表す
• $y$ は、その結果に名前をつけたものである

(2) 計算は次のとおりである。

$$f(3)=5\times 3-2=13$$

この記事は、中学の関数シリーズの2本目です。

前の記事では、関数 を「入力を決まったルールで結果に変える仕組み」として見ました。 次の記事では、座標 を使って、関数の対応を点として表す準備をします。

シリーズ全体は、次の順番で読めます。

• #01 関数
• #02 関数の値
• #03 座標
• #04 一次関数のグラフ
• #05 変化の割合
• #06 一次関数の式