座標｜中学の関数 #03

平面の上にある点の場所を、言葉だけで正確に伝えるのは意外とむずかしいものです。

たとえば、ある点について

• 右上のほう
• 少し右に行ったところ
• かなり上のほう

のように言うことはできます。

しかし、このような言い方では、人によって思い浮かべる場所が少しずつちがってしまいます。

同じ場所を、だれにでも同じように伝えるには、もっとはっきりした表し方が必要です。

座標とは、平面の上の点の位置を、決まった方法ではっきり表すためのものです。

練習問題

問題

なぜ「右上のほう」という言い方だけでは、点の場所を正確に伝えにくいのか説明せよ。

場所を正確に表すには、1つの情報だけでは足りないことがあります。

たとえば、教室の座席を考えてみます。

「最前列」と言われても、どの席かはまだ決まりません。
同じ最前列の中にも、いくつもの席があるからです。

反対に、「一番右」と言われても、それだけではまだ決まりません。
どの列なのかがわからないからです。

しかし、

最前列の一番右

と言えば、場所がはっきり決まります。

このように、場所を正確に表すには、2つの情報がそろう必要があることがあります。

平面の上の点の位置も同じです。
横の位置だけでは足りませんし、縦の位置だけでも足りません。

横と縦の2つの情報を合わせて、はじめて位置が決まるのです。

練習問題

問題

次の文の空らんを埋めよ。

平面の上の点の位置を正確に決めるには、_ の位置と _ の位置の2つの情報が必要である。

平面の上の位置を表すために、数学では

• 横の向き
• 縦の向き

を決めて考えます。

そのために使うのが、2本の数直線です。

1本は横向き、もう1本は縦向きです。
この2本を組み合わせると、平面の上の位置を数で表せるようになります。

このように、平面の上の点の位置を表すために作られたものを座標平面といいます。

ここで、2本の数直線を区別して表せるように、それぞれに名前をつけます。

横の数直線を $x$ 軸、縦の数直線を $y$ 軸 といいます。

これは、文字そのものに特別な意味があるというより、数学ではそのように書くことが多いからです。

練習問題

問題

次の空らんを埋めよ。

• 横の数直線を _ 軸という
• 縦の数直線を _ 軸という
• 平面の上の点の位置を表すために作られたものを **__** という

横の数直線と縦の数直線が交わる点があります。

この点を 原点 といいます。

原点は、座標を考えるときの出発点です。
どこに点があるかは、この原点を基準にして考えます。

原点は $(0,0)$ と表します。

これは、

• 横に 0
• 縦に 0

という位置、つまりちょうど出発点そのものを表しています。

練習問題

問題

次の問いに答えよ。

(1) 原点とは何か答えよ。

(2) 原点を座標で表せ。

座標平面では、点の位置を $(x,y)$ のように表します。

このとき大切なのは、順番です。

先に書くのは、横の位置です。
あとに書くのは、縦の位置です。

たとえば、$(2,3)$ なら、

• 横に 2
• 縦に 3

の位置にある点を表しています。

つまり、原点から見て、

• まず横に 2 進み、
• そこから縦に 3 進んだ場所

が $(2,3)$ です。

このように、座標は横の位置と縦の位置を、この順で並べて表したものです。

また、点 $(2,3)$ では、最初の 2 を $x$ 座標、あとの 3 を $y$ 座標 といいます。

つまり、

• $x$ 座標は横の位置
• $y$ 座標は縦の位置

を表しています。

たとえば、点 $(4,1)$ なら、

• $x$ 座標は 4
• $y$ 座標は 1

です。

このように見ると、点の位置を数字で正確に言い表すことができます。

練習問題

問題

次の問いに答えよ。

(1) 点 $(2,3)$ の横の位置と縦の位置を答えよ。

(2) 点 $(4,1)$ の $x$ 座標と $y$ 座標を答えよ。

(3) 点 $(2,5)$ について、$x$ 座標と $y$ 座標を答えよ。

座標では、順番がとても大切です。

たとえば、$(2,3)$ と $(3,2)$ は、同じ数字を使っていますが、表している点は違います。

$(2,3)$ は

• 横に 2
• 縦に 3

ですが、

$(3,2)$ は

• 横に 3
• 縦に 2

です。

つまり、数字が同じでも、順番が変わると別の点になります。

ここで大切なのは、先に横、あとに縦という順番が変わらないことです。

練習問題

問題

$(3,1)$ と $(1,3)$ は同じ点か答えよ。違うなら、なぜ違うのか説明せよ。

座標平面では、$x$ 軸と $y$ 軸によって、平面が4つの部分に分かれます。

この4つの部分を 象限 といいます。

ただし、$x$ 軸の上や $y$ 軸の上にある点は、どの象限にも入りません。

象限には、決まった名前があります。

• 右上を 第1象限
• 左上を 第2象限
• 左下を 第3象限
• 右下を 第4象限

といいます。

ここで大切なのは、右上から反時計回りに、第1、第2、第3、第4と数えることです。

たとえば、点 $(2,3)$ は

• $x$ 座標が正
• $y$ 座標が正

なので、右上にあります。
したがって、第1象限 にあります。

一方で、点 $(-2,3)$ なら

• $x$ 座標が負
• $y$ 座標が正

なので、左上にあります。
したがって、第2象限 にあります。

このように、象限を見るときは、

• $x$ 座標が正か負か
• $y$ 座標が正か負か

を見れば、どの部分にあるかがわかります。

練習問題

問題

次の点がどの象限にあるか答えよ。

(1) $(3,2)$

(2) $(-4,1)$

(3) $(-2,-5)$

(4) $(6,-3)$

▶解答を見る

(1) $(3,2)$ は、第1象限

(2) $(-4,1)$ は、第2象限

(3) $(-2,-5)$ は、第3象限

(4) $(6,-3)$ は、第4象限

今までは、点を見て座標を読むことを考えてきました。
今度は逆に、座標を見て点を打ってみます。

たとえば、$(4,1)$ という座標があったとします。

このときは、

• まず横に 4
• 次に縦に 1

進みます。

その場所に点を打てばよいことになります。

このように、座標がわかれば、点の位置を正確に決めることができます。

言葉だけで「右のほう」「少し上」などと言うよりも、ずっとはっきり場所を表せることがわかります。

練習問題

問題

次の点を座標平面に打て。

(1) $(4,1)$

(2) $(2,3)$

(3) $(5,2)$

▶解答を見る

座標について、大切な点をまとめます。

• 座標は、平面の上の点の位置を、横と縦の2つの数ではっきり表す方法です
• 座標平面では、横の数直線を $x$ 軸、縦の数直線を $y$ 軸といい、2本の数直線が交わる点を原点 $(0,0)$ といいます
• 点 $(x,y)$ は、先に横の位置、あとに縦の位置を表しています
• 座標では順番が大切で、$(2,3)$ と $(3,2)$ は別の点になります
• 座標は、読めるだけでなく、自分で打てることも大切です

このように考えると、$(2,3)$ も $(4,1)$ も、ただの数字の組ではなく、平面の上の位置を表すものとして見えてきます。

この記事は、中学の関数シリーズの3本目です。

前の記事では、関数の値 で $f(x)$ や $y=f(x)$ の意味を整理しました。 次の記事では、一次関数のグラフ で、関数の対応を xy平面上の点として表します。

シリーズ全体は、次の順番で読めます。

• #01 関数
• #02 関数の値
• #03 座標
• #04 一次関数のグラフ