関数｜中学の関数 #01

「関数」と聞くと、式が出てきて急に難しく感じるかもしれません。

しかし、最初から式として理解しようとする必要はありません。
関数の本質は、もっと基本的なところにあります。

関数とは、

あるものを入力すると、一定のルールにしたがって別のものを返す仕組み

です。

まずは式ではなく、この「変換」という見方から考えてみます。

入れた言葉の文字数を数えて返す仕組みを考えます。

この仕組みに名前をつけましょう。

かぞえるくん

とします。

かぞえるくんは、次のような形をしています。

$かぞえるくん(\text{＜ここに言葉を入れる＞})$

かっこの中に言葉を入れると、その文字数を返してくれるわけです。

たとえば、

• $かぞえるくん(\text{"a"}) = 1$
• $かぞえるくん(\text{"hi"}) = 2$
• $かぞえるくん(\text{"hello"}) = 5$

となります。

"hello" は 5 文字なので、

$かぞえるくん(\text{"hello"}) = 5$

です。

ここで大事なのは、この変換器が気分で答えを変えたりしないことです。

"hello" を入れたら、いつでも 5 が返ります。
ある日は 5、別の日は 6 ということはありません。

同じ入力に対して、結果は必ず同じになる。

これが関数の基本的な性質です。

練習問題

問題

$かぞえるくん(\text{"hello world"})$ の値を求めよ。

▶解答を見る

"hello world" は 11 文字なので、次のようになる。

$かぞえるくん(\text{"hello world"}) = 11$

「かぞえるくん」と毎回書くのは少し長いので、記号で表すことにします。

ここでは、$K$ と書くことにします。
$K$ は Kazoerukun の頭文字です。

すると、先ほどの例は

• $K(\text{"a"}) = 1$
• $K(\text{"hi"}) = 2$
• $K(\text{"hello"}) = 5$

と書けます。

ただし、ここで本当に大事なのは $K$ という文字そのものではありません。

大事なのは、

どのようなルールで変換しているか

です。

この場合、$K$ という記号は
「入れた言葉の文字数を返す」
というルールを持つ変換器を表しています。

練習問題

問題

$K$ が文字数を数える関数であるとき、

$K(\text{"school"})$ の値を求めよ。

▶解答を見る

"school" は 6 文字なので、次のようになる。

$K(\text{"school"}) = 6$

ここで、少し長い単語を考えてみます。

"supercalifragilisticexpialidocious"

という単語です。
かなり長いので、すぐに文字数を数えるのは面倒です。

では、この単語の文字数を K を使って表すとどうなるでしょうか。

$K(\text{"supercalifragilisticexpialidocious"})$

となります。

ここで大事なのは、まだ具体的な数字を書いていなくても、

$K(\text{"supercalifragilisticexpialidocious"})$

と書いた時点で、

「その単語の文字数を数えた結果」

を表しているということです。

つまり、自分で今すぐ数えなくてもかまいません。
変換器に入れればよく、結果そのものはこの形で表せます。

練習問題

問題

$K$ を「入れた言葉の文字数を返す関数」とする。
次の問いに、実際に数えずに $K$ を用いて答えよ。

"abcdefg" は何文字か答えよ。

▶解答を見る

$K(\text{"abcdefg"})$ 文字

ここで大切な点を確認します。

$K(\text{"hello"})$ は、ただの途中の式ではありません。

これは

「hello を K によって変換した結果」

を表しています。

もちろん、実際に計算すれば $5$ です。
しかし、まだ $5$ と書かなくても、$K(\text{"hello"})$ と書いた時点で何を表しているかは決まっています。

同様に、

$K(\text{"supercalifragilisticexpialidocious"})$

も、

その単語の文字数

を表しています。

このように関数は、

結果そのものを記号で表すための道具

でもあります。

練習問題

問題

$K(\text{"hi"})$ は何を表しているか、言葉で説明せよ。

▶解答を見る

"hi" を $K$ によって変換した結果、つまり "hi" の文字数を表している。

ここでは $K$ を使ってきましたが、$K$ でなければならない理由が特にあるわけではありません。

別の文字を使ってもかまいません。

重要なのは、どの文字を使うかではなく、

入力と出力の対応関係

です。

つまり、関数で本質的なのは、

何を入れたときに、何が返るのかというルール

です。

練習問題

問題

関数において本質的に重要なのはどちらか答えよ。

(1) 使う文字 (2) 入力と出力の対応関係

▶解答を見る

(2) 入力と出力の対応関係

ここまでは、具体的な変換器として かぞえるくん や K を考えてきました。

ただ、$K$ に特別な意味があるわけではありません。
数学では、関数を表す文字として $f$ を使うことが多いので、ここからはその慣習に合わせて $f$ を使うことにします。

$f$ は function の頭文字です。

ここでも大事なのは文字そのものではなく、

どのようなルールで入力を出力に対応させるか

です。

練習問題

問題

次のうち、関数を表す文字として数学でよく使われるものを選べ。

(1) f (2) q (3) z

▶解答を見る

(1) $f$

ここまでは、言葉の文字数を数える変換器を考えてきました。

今度は、数を入力する関数を考えます。

ここでは、新しく

「入力した数に 1 を足して返す関数」

を考え、その関数を $f$ と書くことにします。

つまり、この $f$ は

• $f(1) = 1 + 1 = 2$
• $f(2) = 2 + 1 = 3$
• $f(3) = 3 + 1 = 4$

となる関数です。

ここでも見方は変わりません。

• 1 に 1 を足して 2 を返す
• 2 に 1 を足して 3 を返す
• 3 に 1 を足して 4 を返す

つまり、ここでも

入力 → ルール → 出力

という構造になっています。

練習問題

問題

この $f$ が「入力した数に 1 を足して返す関数」であるとき、次の値を答えよ。

$f(4) = ?$

▶解答を見る

5

ここで二つを並べてみます。

• $かぞえるくん(\text{"hello"}) = 5$
• $f(2) = 3$

見た目は少し違いますが、考え方は同じです。

かぞえるくんは、

入れた言葉の文字数を返す変換器

でした。

一方、$f$ は、

入力した数に 1 を足して返す関数

です。

ルールの中身は違いますが、共通しているのは、

何かを入力し、決まったルールにしたがって結果を返している

ということです。

だから関数は、最初から「計算の式」と考えるよりも、

変換の仕組み

として理解したほうが、本質が見えやすくなります。

練習問題

問題

空らんを埋めよ。

$かぞえるくん(\text{"hello"})$ も $f(2)$ も、どちらも何かを入力し、決まった __ にしたがって結果を返している。

▶解答を見る

ルール

ここで、先ほどの「入力した数に 1 を足して返す関数」を、式で書いてみます。

それが

$f(x) = x + 1$

です。

ここで $x$ は、入力する数を表しています。

ただし、ここで使う文字は必ずしも $x$ である必要はありません。
本当は、どの文字を使ってもかまいません。

それでも数学で $x$ がよく使われるのは、デカルトが使った文字の使い分けが、そのまま慣習として残っているからです。

さて、話を戻して、たとえば $x = 2$ のとき、

$f(2) = 2 + 1 = 3$

となります。

つまり、

$f(x) = x + 1$

という式は、

「$x$ を入力すると、$x + 1$ を返す」

というルールを書き表したものです。

練習問題

問題

$f(x) = x + 1$ のとき、

$f(5)$ の値を求めよ。

▶解答を見る

6

ここで、$f(2)$ という書き方の意味を、もう一度はっきりさせておきます。

$f(2)$ は、単なる途中の記号ではありません。

これは

「$2$ を $f$ に入れて変換した結果」

を表しています。

この場合、$f$ は「1 を足して返す関数」なので、

$f(2) = 3$

です。

同じように、$f(5)$ なら「$5$ を変換した結果」、
$f(10)$ なら「$10$ を変換した結果」を表しています。

つまり、$f( )$ という形は、

入力を入れると、その結果を表す書き方

なのです。

練習問題

問題

$f(x) = x + 1$ のとき、$f(10)$ は何を表しているか説明せよ。

▶解答を見る

$10$ を $f$ に入れて変換した結果（$10$ に $1$ を足した結果）

ここまでは、関数を

入力を変換して結果を返す仕組み

として見てきました。

そして、

$f(3)$

のような形は、

「$3$ を $f$ に入れて変換した結果」

そのものを表しているのでした。

この見方は、式が少し複雑になったときに特に役立ちます。

たとえば、次のような関数を考えてみます。

$$f(x)=(x^2+1)(x+3)$$

中学校でこのままの形が出てくることはありません。
ただ、少し複雑な式をあえて見ると、関数をどう見ればよいかがはっきりします。

この式を見たとき、多くの人はまず

「うわ、計算が大変そうだ」

と思うはずです。
その反応で大丈夫です。

ここで大事なのは、その場ですぐ全部を計算することではありません。

たとえば、この関数の $x=3$ のときの値が分かれば、その先の道筋が見えそうだとします。
そのときは、無理にすぐ計算しなくても、

$$f(3)$$

と書いておけばよいのです。

$f(3)$ は、まだ具体的な数に直していなくても、

「3 をこの関数に入れた結果」

を表しています。

つまり、

とりあえず $f(3)$ とおいて、先に全体の流れを考える

という進み方ができます。

数学では、この考え方がとても大切です。

問題が複雑になるほど、細かい計算をそのたびに全部やろうとすると、

• 今必要なものは何か
• それが答えとどうつながるのか
• 全体としてどんな流れになっているのか

が見えにくくなってしまいます。

それよりも、必要な結果を $f(3)$ のようにひとまとまりで表しておけば、先に全体を見ることができます。

細かい計算はいったん脇に置いて、まず全体を見る。
枝葉ではなく、幹を見る。

関数は、そのためにも使える道具なのです。

ここまで見てきたように、関数とは

入力を、一定のルールにしたがって出力へ対応させる仕組み

です。

大事な点をまとめると、次のようになります。

• 同じ入力には、必ず同じ出力が対応する
• $K$ や $f$ は単なる名前であり、本質ではない
• 本質は、入力と出力の対応関係にある
• 関数は、結果そのものを記号で表すことができる
• 入力は数に限らず、言葉のようなものでもよい
• $f(x) = x + 1$ は、「$x$ を $x + 1$ に変換するルール」を式で書いたものである

このように考えると、関数は単なる計算のための記号ではなく、

対応関係や変換を表すための考え方

として理解できます。

この記事は、中学の関数シリーズの1本目です。

関数の考え方が見えてきたら、次は 関数の値 に進むと、$f$、$f(x)$、$y=f(x)$ の違いを整理しやすくなります。

シリーズ全体は、次の順番で読めます。

• #01 関数
• #02 関数の値
• #03 座標
• #04 一次関数のグラフ