一次関数のグラフ｜中学の関数 #04

関数 $f$ では、入力を $x$ とすると、1つの $x$ に対して結果が1つ決まります。 その結果を $y$ とおくと、

となります。

xy平面では、横の位置を $x$、縦の位置を $y$ として点を表します。

そのため、$y=f(x)$ として、関数の結果を $y$ 座標に対応させると、関数 $f$ の対応はxy平面上で

という点で表せます。

たとえば、$f(3)=7$ なら、対応する点は

です。

練習問題

問題

関数 $f$ について、$f(4)=9$ であるとする。 $y=f(x)$ として、対応する点をxy平面上の座標で表せ。

学校で習う形とのつながり

学校では、$f(x)$ を用いずに、$y=x+1$ のような形で表します。 たとえば、$f(x)=x+1$ で $y=f(x)$ とおくと、

と書けます。

問題

$y=-x+4$ について、$x=0,1,4$ のとき、$y$ の値を求め、対応する点をxy平面上の座標で表せ。

関数 $f$ に 2 を入れた結果は

と書きます。

その結果を $y$ とおくなら、

です。
つまり、$x=2$ のときの縦の位置が $f(2)$ である、ということです。

したがって、このときの点は

と表せます。

まだ具体的な数を計算していなくても、この形で点を表すことができます。

たとえば、

なら、

なので、

です。

このように、$f(2)$ は単なる途中の記号ではなく、点の縦の位置そのものを表しています。

練習問題

問題

関数 $f$ において、$y=f(x)$ とする。 $x=6$ のとき、結果を計算せずに、対応する点をxy平面上の座標で表せ。

関数のふるまいを視覚的に見たいときは、xy平面に対応する点を打つと見やすくなります。

たとえば、

のとき、$x=0,1,2,3$ に対応する $f(x)$ は次のように整理できます。

同じ列にある $x$ と $f(x)$ を1組にすると、$(0,1)$、$(1,3)$、$(2,5)$、$(3,7)$ のように表せます。 $y=f(x)$ とおけば、これらは xy平面上の点として表せます。実際に打ってみましょう。

このように、対応する点を xy平面上に表すと、関数の対応のしかたが図で見えるようになります。 式だけを見ているときには数字の対応として見えていたものが、グラフでは点の並び方として見えるようになります。

練習問題

問題

関数 $f$ について、$y=f(x)$ とする。

のとき、$x=-3,-2,0,2,5$ に対する $y$ の値を求め、対応する点を xy平面上に表せ。

▶解答を見る

$x$	$y$
-3	$f(-3)=-3+1=-2$
-2	$f(-2)=-2+1=-1$
0	$f(0)=0+1=1$
2	$f(2)=2+1=3$
5	$f(5)=5+1=6$

対応する点は、$(-3,-2)$、$(-2,-1)$、$(0,1)$、$(2,3)$、$(5,6)$

これを xy平面上に表す。

学校で習う形とのつながり

学校で習う形でも、対応する点を xy平面上に表す流れは同じです。

問題

$y=2x-1$ について、$x=-1,0,2$ のとき、$y$ の値を求め、対応する点を xy平面上に表せ。

▶解答を見る

$x$	$y$
-1	$2\times(-1)-1=-3$
0	$2\times0-1=-1$
2	$2\times2-1=3$

対応する点は、$(-1,-3)$、$(0,-1)$、$(2,3)$

これを xy平面上に表す。

ここまで、関数の対応を点として表してきました。

たとえば、

では、いくつかの対応は次のように整理できます。

この表からは、$(-2,-3)$、$(0,1)$、$(0.5,2)$、$(1,3)$、$(1.7,4.4)$、$(2,5)$ のような点がわかります。

$y=f(x)$ とすると、これらはすべてxy平面上の点として表せます。
ただし、表に書けるのは対応の一部だけです。

実際には、ほかの $x$ の値に対応する点もあります。 その関数で決まる対応する点全体を表したものが、関数のグラフです。

練習問題

問題

について、$y=f(x)$ とする。

(1) $x=1.5$ のとき、対応する点を表せ。

(2) (1)で求めた点だけで、この関数のグラフを表したことになるかどうか答えよ。 また、その理由を答えよ。

の形で表される関数を、一次関数といいます。
$x$ の次数が 1 であることが、その名前の理由です。

たとえば、

では、$x$ の次数は 1 です。

これに対して、

のように $x^2$ が出てくる関数は、$x$ の次数が 2 なので 二次関数といいます。
同じように、$x^3$ が出てくる関数は 三次関数といいます。

話を戻して、

の一次関数では、$x$ が増えると、それに応じて $f(x)$ が一定の $a$ の割合で増えたり減ったりします。
この $a$ を変化の割合といい、次の記事で詳しく見ていきます。

たとえば、

なら、$x$ が1増えるたびに、$f(x)$ は2増えます。

このように、いつでも2ずつ増えています。

このように、変化が一定なので、対応する点は一直線上に並びます。 そのため、一次関数のグラフは直線になります。

また、異なる2点が決まれば、1本の直線が決まります。 そのため、一次関数のグラフを考えるときは、どの点を求めればよいかを考えることが大切になります。

練習問題

問題

について、$y=f(x)$ とする。 次の問いに答えよ。

(1) $x$ が1増えるときの $y$ の増え方を答えよ。

(2) 一次関数のグラフは、どのような形になるか答えよ。

(3) 直線を描くには、何が決まればよいか答えよ。

(4) $f(x)=3x+2$ について、異なる2点を求め、xy平面上に表して、その2点を通る直線を描け。

▶解答を見る

(1) $x$ が1増えるとき、$y$ は3増える。

(2) 一次関数のグラフは、直線になる。

(3) 異なる2点が決まればよい。

(4) たとえば、$x=0,1$ とすると、

$x$	$y$
0	$f(0)=3\times0+2=2$
1	$f(1)=3\times1+2=5$

対応する点は、$(0,2)$、$(1,5)$

これを xy平面上に表し、2点を通る直線を描く。

実践的な補足として、実際に直線を描くときは、少し離れた2点を取ると描きやすい。

たとえば、$x=-2,3$ とすると、

$x$	$y$
-2	$f(-2)=3\times(-2)+2=-4$
3	$f(3)=3\times3+2=11$

対応する点は、$(-2,-4)$、$(3,11)$

これを xy平面上に表し、2点を通る直線を描いてもよい。

グラフは、関数を図に表したものです。

グラフ上の1つの点は、関数の1つの対応を表しています。

たとえば、$y=f(x)$ のグラフ上に

という点があるなら、それは $x=4$、$y=9$ ということです。

関数で書けば、

ということになります。

このように、グラフを見ると、どの $x$ に対してどの値が対応しているかを読むこともできます。

グラフは、ただ形を見るためのものではなく、関数の値を読み取るための図でもあります。

練習問題

問題

$y=f(x)$ のグラフ上に点 $(3,8)$ があるとする。 このことを、関数 $f$ を使って表せ。

一次関数をグラフに表すときは、異なる2点が分かれば直線が描けることを意識して、次のように進めます。

1. 関数 $f$ を見る
2. $x$ の値を2つ決める
3. それぞれについて $f(x)$ を求める
4. $(x,f(x))$ の異なる2点をxy平面に打つ
5. 異なる2点を直線で結ぶ

一次関数では、直線を決めるには異なる2点分の情報が必要です。 そのため、まず2つの $x$ を決めて、対応する異なる2点を求めます。

たとえば、

なら、 $x=0,1$ で考えると、$f(0)=2$、$f(1)=3$ です。
したがって、打つ点は $(0,2)$、$(1,3)$ です。
この異なる2点を直線で結ぶと、この関数のグラフになります。

練習問題

問題

について、$y=f(x)$ とする。
xy平面上にグラフを描け。 また、使った点を記せ。

▶解答を見る

$x=0,1$ を考えると、対応する点は $(0,3)$、$(1,5)$ よってグラフは次のようになる。

学校で習う形とのつながり

問題

のグラフを xy平面上に描け。 また、使った点を記せ。

▶解答を見る

$x=0,1$ を考えると、

$x$	$y$
0	$2\times0+3=3$
1	$2\times1+3=5$

対応する点は、$(0,3)$、$(1,5)$

この2点を xy平面上に表し、2点を通る直線を描く。

関数をグラフに表すというのは、

関数の対応を、xy平面上の点として表すこと

です。

大切な点をまとめると、次のようになります。

• 関数 $f$ に $x$ を入れた結果は $f(x)$ です
• その結果を $y$ とおくと $y=f(x)$ です
• 関数の対応は、xy平面では $(x,f(x))$ という点で表せます
• $y=f(x)$ とおくと、この点は $(x,y)$ とも表せます
• グラフは、関数の対応全体を図として見られます
• 一次関数では、点が一直線に並びます
• 異なる2点があれば、1本の直線が描けます

このように考えると、グラフは関数とは別の新しいものではなく、 関数の対応を図として表したものだとわかります。

この記事は、中学の関数シリーズの4本目です。

前の記事では、座標 で xy平面上の点の表し方を見ました。 この記事では、その座標の見方を使って、関数の対応をグラフとして表しました。

シリーズ全体は、次の順番で読めます。

• #01 関数
• #02 関数の値
• #03 座標
• #04 一次関数のグラフ