変化の割合｜中学の関数 #05

関数では、入力を変えると、それに対応する出力も変わります。

このとき、入力が 1 増えたときの、出力の増加量 を変化の割合といいます。

$y=f(x)$ の対応で考えると、$x$ が 1 増えたときの $y$ の増加量 が変化の割合です。

さて、具体的に見ていきましょう。

たとえば、

$$f(x)=2x$$

を考えます。

$x=0$ のとき、

$$f(0)=0$$

また、$x=1$ のとき、

$$f(1)=2$$

となります。

したがって、$x$、$y$ の変化量はそれぞれ

$$1-0=1$$ $$f(1)-f(0)=2-0=2$$

です。

つまり、$x$ が 1 増えたとき、$y$ は 2 増えます。

$x$ が 1 増えたときの $y$ の増加量が変化の割合ですから、

$x=0$ から $x=1$ までの変化の割合は

$$2$$

となります。

練習問題

問題

$$f(x)=3x+1$$

について、$x=0$ から $x=1$ までの変化の割合を求めよ。

▶解答を見る

$$f(0)=3\times 0+1=1$$ $$f(1)=3\times 1+1=4$$

より、$x$、$y$ の変化量はそれぞれ

$$1-0=1$$ $$f(1)-f(0)=4-1=3$$

したがって、$x$ が 1 増えたとき、$y$ は 3 増える。

よって、$x=0$ から $x=1$ までの変化の割合は

$$3$$

変化の割合を考えるには、まず 変化量 をはっきりさせる必要があります。

変化量とは、あと − まえ で求める量です。

$x$ が $x_1$ から $x_2$ に変わるとき、$x$ の変化量は

$$x_2-x_1$$

です。

同じように、$y$ が $y_1$ から $y_2$ に変わるとき、$y$ の変化量は

$$y_2-y_1$$

です。

ここで大切なのは、引く順番をそろえることです。

$x$ で「あと − まえ」にしたなら、$y$ でも「あと − まえ」にそろえます。

順番がずれると、符号が合わなくなり、正しい変化の割合になりません。

たとえば、$x$ が 1 から 4 に変わり、$y$ が 7 から 1 に変わるなら、

$$x の変化量 = 4-1=3$$ $$y の変化量 = 1-7=-6$$

です。

このとき、$y$ は増えたのではなく、減っています。
そのため、$y$ の変化量は負になります。

練習問題

問題

$x$ が -2 から 3 に変わるとき、$y$ が 5 から -5 に変わるとする。
$x$ の変化量と $y$ の変化量をそれぞれ求めよ。

▶解答を見る

$x$ の変化量は

$$3-(-2)=5$$

$y$ の変化量は

$$-5-5=-10$$

前の節では、変化の割合を、$x$ が 1 増えたときの $y$ の増加量として見ました。

たとえば、

$$f(x)=2x$$

では、$x=0$ のとき

$$f(0)=0$$

であり、$x=1$ のとき

$$f(1)=2$$

です。

したがって、$x$、$y$ の変化量はそれぞれ

$$1-0=1$$ $$f(1)-f(0)=2-0=2$$

です。

つまり、$x$ が 1 増えたとき、$y$ は 2 増えます。

$x$ が 1 増えたときの $y$ の増加量が変化の割合ですから、$x=0$ から $x=1$ までの変化の割合は

$$2$$

です。

このように、変化の割合は、ある区間で $x$ がどれだけ増え、それに対応して $y$ がどれだけ増えるかがわかれば求められます。

次に、$f(x)$ の式がわからない場合を見てみましょう。
その代わり、グラフが点 $A(-2,-1)$、$B(3,4)$ を通っているとします。

ここで、点 $A$ から $x$ 軸に平行な直線を引き、点 $B$ から $y$ 軸に平行な直線を引きます。
この2本の直線の交点を $C$ とします。

$x$ 軸と $y$ 軸は垂直なので、三角形 $ABC$ は直角三角形になります。

$AC$ の長さは、$x$ 座標を見ればわかります。

$$AC=3-(-2)=5$$

です。

また、$BC$ の長さは、$y$ 座標を見ればわかります。

$$BC=4-(-1)=5$$

です。

したがって、$x$ が 5 増えたとき、$y$ も 5 増えています。

ここで知りたいのは、$x$ が 1 増えたときの $y$ の増加量です。

$x$ が 5 増えたときに $y$ も 5 増えるのですから、$x$ が 1 増えたときには $y$ は 1 増えます。

したがって、$x=-2$ から $x=3$ までの変化の割合は

$$1$$

です。

次に、これを一般化して考えてみます。

$y=f(x)$ のグラフが、2点

$$A(x_1,f(x_1)),\quad B(x_2,f(x_2))$$

を通っているとします。

このとき、$x$ は

$$x_2-x_1$$

増えています。

それに対応して、$y$ は

$$f(x_2)-f(x_1)$$

増えています。

ここで知りたいのは、$x$ が 1 増えたときの $y$ の増加量です。

いま見ているのは、$x$ が

$$x_2-x_1$$

増えた場合です。
そこで、$x$ の増え方を 1 にそろえることを考えます。

$x_2-x_1$ にその逆数

$$\frac{1}{x_2-x_1}$$

をかけると、

$$(x_2-x_1)\cdot \frac{1}{x_2-x_1}=1$$

となります。

$x$ の増え方だけでなく、それに対応する $y$ の増加量にも同じように

$$\frac{1}{x_2-x_1}$$

をかけると、

$$\left(f(x_2)-f(x_1)\right)\cdot \frac{1}{x_2-x_1} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

となります。

したがって、$x_1$ から $x_2$ までの変化の割合は

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

です。

また、分子と分母をそれぞれ同時に符号反転しても値は変わらないので、

$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$$

と書いても同じです。

練習問題

問題

$y=f(x)$ のグラフが、2点

$$(1,2),\quad (5,10)$$

を通っているとする。
このとき、$x=1$ から $x=5$ までの変化の割合を求めよ。

▶解答を見る

より、$x$、$y$ の変化量はそれぞれ

$$5-1=4$$ $$10-2=8$$

である。

したがって、変化の割合は

$$\frac{8}{4}=2$$

学校で習う形とのつながり

学校では、おそらく

$$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

と習うでしょう。

これは、$y=f(x)$ において、2点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ の間で見た、$x$ が 1 増えたときの $y$ の増加量を表す式です。

問題

2点 $(1,2)$、$(5,10)$ の間の変化の割合を求めよ。

▶解答を見る

より、$x$、$y$ の変化量はそれぞれ

$$5-1=4$$ $$10-2=8$$

である。

したがって、変化の割合は

$$\frac{8}{4}=2$$

ここまで見てきた変化の割合を、一次関数で考えてみましょう。

たとえば、

$$y=2x+1$$

を考えます。

$x=0,1,3$ のときの値を調べると、

となります。

まず、$(0,1)$ と $(1,3)$ の間では、

$$\frac{3-1}{1-0}=\frac{2}{1}=2$$

です。

次に、$(1,3)$ と $(3,7)$ の間では、

$$\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2$$

です。

どちらも 2 になっています。

このように、一次関数では、どの異なる2点を取っても変化の割合が同じになります。

では、これを一般に考えてみます。

一次関数

$$f(x)=ax+b$$

を考えます。

$x$ が $x_1$ から $x_2$ に変わるとき、それぞれの $y$ の値は

$$y_1=f(x_1)=ax_1+b$$ $$y_2=f(x_2)=ax_2+b$$

です。

したがって、$y$ の増加量は

$$y_2-y_1=f(x_2)-f(x_1)=(ax_2+b)-(ax_1+b)$$ $$= ax_2+b-ax_1-b$$ $$= a(x_2-x_1)$$

となります。

よって、変化の割合は

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1} =a$$

です。

つまり、一次関数 $f(x)=ax+b$ では、変化の割合はいつでも

$$a$$

になります。

また、この一次関数の変化の割合は、傾きともいいます。

練習問題

問題1

$$f(x)=-3x+2$$

について、$x=0,1,3$ のときの値を求め、
$(0,f(0))$ と $(1,f(1))$ の間、$(1,f(1))$ と $(3,f(3))$ の間の変化の割合をそれぞれ求めよ。

▶解答を見る

まず、値は

$x$	$f(x)$
0	$f(0)=-3\times 0+2=2$
1	$f(1)=-3\times 1+2=-1$
3	$f(3)=-3\times 3+2=-7$

である。

$(0,2)$ と $(1,-1)$ の間の変化の割合は

$$\frac{-1-2}{1-0}=-3$$

$(1,-1)$ と $(3,-7)$ の間の変化の割合は

$$\frac{-7-(-1)}{3-1}=\frac{-6}{2}=-3$$

どちらも -3 となる。

問題2

次の一次関数について、変化の割合を答えよ。

(1) $f(x)=4x-1$

(2) $f(x)=-2x+5$

(3) $f(x)=\frac{1}{3}x+7$

▶解答を見る

(1) 4

(2) -2

(3) $\frac{1}{3}$

問題3

$$f(x)=ax+b$$

において、$a$ を一次関数の変化の割合、または＿＿という。

▶解答を見る

傾き

変化の割合を見ると、グラフのおおまかな見え方もわかります。

• 変化の割合が正なら、右に行くほど上がる
• 変化の割合が負なら、右に行くほど下がる
• 変化の割合の絶対値が大きいほど、変わり方が急になる

たとえば、

$$y=x$$

より

$$y=3x$$

のほうが、$x$ が 1 増えたときの $y$ の増え方が大きいので、より急に上がるグラフになります。

また、

$$y=-x$$

は右に行くほど下がるグラフになります。

このように、変化の割合は、ただの計算結果ではなく、グラフの傾き方を数で表したもの として見ることができます。

練習問題

問題

次の一次関数について、グラフが右に行くほど上がるか、下がるか答えよ。

(1) $y=2x+1$

(2) $y=-4x+3$

(3) $y=\frac{1}{2}x-2$

▶解答を見る

(1) 上がる

(2) 下がる

(3) 上がる

変化の割合について、大切な点をまとめます。

• 変化の割合は、$x$ が 1 増えたときの $y$ の増加量を表す
• 変化量は、「あと − まえ」で求める
• 2点がわかると、変化の割合は $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ で求められる
• 一次関数では、どの異なる2点を取っても変化の割合が一定になる
• 一次関数 $f(x)=ax+b$ では、変化の割合はいつでも $a$ になる
• 一次関数の変化の割合は、傾きともいう
• 変化の割合を見ると、グラフの傾き方もわかる

このように考えると、変化の割合は、
関数の変わり方を数で表したもの だとわかります。

この記事は、中学の関数シリーズの5本目です。

前の記事では、一次関数のグラフ で、関数の対応を xy平面上の点として表し、グラフとして見る考え方を見ました。
この記事では、そのグラフをもとに、$x$ と $y$ の変わり方を数で表す変化の割合を見ました。

シリーズ全体は、次の順番で読めます。

• #01 関数
• #02 関数の値
• #03 座標
• #04 一次関数のグラフ
• #05 変化の割合